浅谈凯利公式_哈利路亚Mickey

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【转自吉林大学数学学院】

前言
今天我们来聊聊大名鼎鼎的凯利公式（英文叫 Kelly Formula 或 Kelly Criterion，所以中文也译作凯利准则）。
凯利公式由 John R. Kelly, Jr. 于1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。
凯利公式在“拉斯维加斯”和“华尔街”久负盛名。很多数学天才将它在赌场和投资中发扬光大，取得了非凡的成就。这其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他开辟了战胜 Blackjack（21 点）的策略，并使用凯利公式计算出来的比例进行下注（Thorp 1962）；玩转赌场后，Thorp 博士将它在统计学和概率论上的天赋用在投资中，他创建的 PNP 对冲基金曾在近 30 年内取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，学术界也对凯利公式的各种数学性质以及实践应用进行了大量的研究，这些成果汇总于 MacLean 等人编辑的论文集 MacLean et al. Eds (2010) 中。

真容
我们来看看凯利公式的庐山真面目：
f* =（bp-q）/ b
在公式中，各参数意义为：
f* = 应投注的资本比值
p = 获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率）
q = 失败的概率，即1 - p（也就是硬币反面的概率）
ｂ = 赔率，等于期望盈利 ÷可能亏损（也就是盈亏比）
公式上面的分子bp-q代表“赢面”，数学中叫“期望值”。
什么才是不多不少的合适赌注呢？凯利告诉我们要通过选择最佳投注例才能长期获得最高盈利。
回到前面提到的例子中，硬币抛出正反面的概率都是50%，所以p、q获胜失败的概率都为0.5，而赔率＝期望盈利÷可能亏损=2元盈利÷1元亏损，赔率就是2，我们要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。拿出资金的25%来进行下注，才能使赌局收益最大化。
赌场操盘者的每一次下注的时候，都会谨记数学原则，而作为普通赌徒，除了心中默念“菩萨保佑”外，哪里知道这后面的数理知识。
所以，就算你赢得了财神爷的支持，但你也永远赢不了“凯利公式”。

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