非对称的三元数

请教luyuanhong教授：非对称的三元数

1、实数 a ，其规则是：实数*实数=实数，1*1=1
2、复数 Z=a+bi ，其规则是：实数*i=虚数,i*i=-1 变实数
【要点】：乘一次时实数变虚数，虚数变实数（相反之实数）
3、非对称的三元数 Z=a+bi+cj ，其规则是：实数*j=冲数，虚数*j=?，j*j=0 变实数
【要点】：乘一次时实数变冲数，冲数变实数（零之实数）

附图：非对称的三元数

附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪"﹁∈"∪"Φ"

【思路】：
1、实数的性质，类似于 R(·,·)="∈" ，
2、虚数的性质，类似于 R(·,·)="﹁∈" ，
3、应该还有一种数，其性质类似于 R(·,·)="Φ" ，即变到零的 ！！！暂时称为中国传统文化的“冲”字吧
4、三元数的“秩ｒａｎｋ”值仍然还是 2

我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）要请教luyuanhong教授的是：
【问题1】：非主对角线上的 i*j=j*i=0 时，这种三元数能满足交换律和结合律等各项要求吗 ？
【问题2】：非主对角线上的 i*j=j*i=i 时，会怎么样 ？？？