杂卷：四元数的乘法不符合交换律（commutative law）的原因

作者：雷小帅

2017-09-28 14:49:05
（文章有删节）
旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移。

三种旋转方式的优缺点：

矩阵旋转
优点：
旋转轴可以是任意向量；

缺点：
旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；

欧拉旋转
优点：
很容易理解，形象直观；表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；
但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；

缺点：
之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。这里有个视频可以直观的理解下；由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；

四元数旋转
优点：
可以避免万向节锁现象；只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
可以提供平滑插值；

缺点：
比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；
理解更困难，不直观；

欧拉旋转是怎么运作的

欧拉旋转是我们最容易理解的一种旋转方式。以我们生活中为例，一个舞蹈老师告诉我们，完成某个舞蹈动作需要先向你的左边转30°，再向左侧弯腰60°，再起身向后弯腰90°（如果你能办到的话）。上面这样一个旋转的过程其实和我们在三维中进行欧拉旋转很类似，即我们是通过指明绕三个轴旋转的角度来进行旋转的，不同的是，日常生活中我们更愿意叫这些轴为前后左右上下。而这也意味着我们需要指明一个旋转顺序。这是因为，先绕X轴旋转90°、再绕Y轴30°和先绕Y轴旋转90°、再绕X轴30°得到的是不同的结果。
在Unity里，欧拉旋转的旋转顺序是Z、X、Y，这在相关的API文档中都有说明，例如Transform.Rotate。其实文档中说得不是非常详细，还有一个细节我们需要明白。如果你仔细想想，就会发现有一个非常重要的东西我们没有说明白，那就是旋转时使用的坐标系。给定一个旋转顺序（例如这里的Z、X、Y），以及它们对应的旋转角度（α，β，r），有两种坐标系可以选择：
1.绕坐标系E下的Z轴旋转α，绕坐标系E下的Y轴旋转β，绕坐标系E下的X轴旋转r，即进行一次旋转时不一起旋转当前坐标系；
2.绕坐标系E下的Z轴旋转α，绕坐标系E在绕Z轴旋转α后的新坐标 系E‘下的Y轴旋转β，绕坐标系E‘在绕Y轴旋转β后的新坐标系E‘‘下的X轴旋转r， 即在旋转时，把坐标系一起转动；
很容易知道，这两种选择的结果是不一样的。但如果把它们的旋转顺序颠倒一下，其实结果就会一样。说得明白点，在第一种情况下、按ZXY顺序旋转和在第二种情况下、按YXZ顺序旋转是一样的。