期权深度文章

大家好！很高兴今天借这个机会跟大家分享一下我们去年的一个研究成果。期权价格跟波动率高度相关，而现货、期货、远期都没法对波动率进行交易。波动率是二阶矩，一个分布的二阶矩。做股票的主要是判断它的方向，其实是一阶矩。如果这个分布是独立同分布的话，这个波动率是不变的。不变的很好预测。但现实生活中波动率是一个明显的随机变量，所以如何去估计波动率是一个重要的课题。预测波动率，在没有期权之前都是用历史数据用统计方法去估计。有了期权之后，做期权的人首先要对未来一段时间的波动率进行估计，买卖双方对期权进行交易，交易价格里面反映了市场对未来波动率的判断。问题是期权那么多，我们怎样从众多期权价格中提取出目前市场上对波动率估计的水平是多少？刚才刘总也提到，上交所原来公布了ivix指数，去年11月他们改进了这个指数，叫iVX。我们的研究发现，原来的估计在方法上有很多可以改进的地方，所以我们提出了新的一种估计波动率的方法，取名叫AVIX。它考虑了利率的随机变化，以及如何自动筛选信息量大的期权来计算隐含波动率。

我们先简单介绍一下VIX。VIX是2003年CBOE发布的，它是基于无模型的提取方法，是对BS隐含波动率的改进。BS隐含波动率是通过把期权的市场价格代入BS期权定价公式，通过反函数求出的。由于BS公式是基于众多假定推导出来的，因此BS公式自然不够准确，这样计算出来的隐含波动率就很可能存在较大偏差。后来学者们就放松了上述假定，假定标的资产服从更接近现实的随机过程，然后通过数学推导，直接根据同一期限所有行权价的期权价格把波动率直接算出来。目前VIX被公认为隐含波动率代表性指标与恐慌指数，后来很多国家也纷纷效仿这种方法提出了自己的波动率指数。2015年6月，上交所采用类似算法，发布上证50ETF 期权对应的iVIX指数，刚才说在去年11月他们改进了这种方法。
那我们做了哪些工作呢？第一，我们提出了一个改进的AVIX指数。它有四个特征，首先我们拓展至随机利率环境，我们知道利率不是一个常数，而是一个随机变量。原来的模型都没有考虑到，我们把它扩展到这个环境；第二个就是中国期权和美国有很大的区别，其实我们是有个红利保护机制，就是标的资产分红的时候，我们期权的相应条款要做调整，但是美国的条款是不做调整的，所以在分红的时候有很大的不同；第三个就是很重要的一个贡献：引入适应性筛选机制，充分利用期权市场信息。其实VIX指数使用同一期限的所有行权价格的期权市场价格来计算。从理论上说，每个行权价的期权只要任选一个看涨期权或者看跌期权（当然选择看跌期权时需要根据PCP平价将之转换成看涨期权）用于计算就可以了。在国外，由于虚值期权的流动性通常更好，而流动性好的期权其所代表的信息通常更为可信，因此国外在计算无模型隐含波动率时通常都是选虚值期权，因为虚值期权的流动性较好。但是在国内不一定这样，因为国内交易成本比较高，所以我们要找到一种机制自动地把流动性好筛选出来再进行计算，这样的话保证了信息更准确；另外我们改进的结果仍能保持“无模型”特征。
与传统VIX指数相比，实证检验的结果表现要更好。首先这个指数的功能是要作为整体隐含波动率的代表，而它是一种更佳的代表；第二点就是波动率指数应可以反映投资者情绪，那我们的这个波动率指数能更好地反映；另外它对市场变化更为敏感迅速，所以可以引领传统VIX的变化，我们算出来的指数和传统的指数在对市场的变化上更能领先；第四个，它是对未来真实波动率的更好预测，因为VIX指数就是期权指数对未来一段时间波动率的预测，关键是要算准，要算得更保持原汁原味，我们算出来的在预测方面更强。这四大方面我们都比传统的要好，所以整体来说这个方法有一个大的改进。
在座的主要是业界的，我们这个是学术论文，理论就稍微过一下。关于这方面的研究，国外的经典文献从78年、97年、99年、00年、05年、07年都有个延续，我们用个表来勾勒一下这些理论的延续有什么特点。第一个就是97年、99年、00年的研究可以归为一类，他们模型假设的特征都是假定标的资产遵循连续扩散过程，利率不变，计算时用的是现货价格，测度用的是风险中性测度，所以算出来的VIX指数其实是隐含方差，这是这三篇文章的主要要素。Jiang和Tian在2005年，把期货价格遵循的连续扩散的过程扩展成一个带泊松跳跃的随机过程，但是它仍然假定利率不变，所以仍然沿用风险中性测度，这个时候它用的是期货价格而不是现货价格，它算的仍然是隐含方差。到了Carr and Wu，在06、09年的文章，他们把标的资产遵循的过程进一步放宽到带跳的半鞅过程，但是它仍然假定利率不变，所以仍然沿用风险中性测度，用的价格是远期价格。因为是带跳的半鞅过程，他们发现用方差概念不太适合，所以就用了隐含二次变差。这是传统的经典文献，在这个基础上我们就思考，他们都假定利率不变，但现实生活中利率肯定是随机的，那利率随机的情况下会有什么不同？如果利率是随机的，期货价格和远期价格就不相等，这就导致了用哪一个价格的问题。紧接着又有个问题，利率如果是随机的，传统的风险中性测度是不能用的。再者，VIX指数到底是隐含方差还是隐含二次变差？当然中国还有个红利保护问题，这些理论问题促使我们研究如何改进隐含波动率的计算方法。
在现实中，上交所原来使用的iVIX指数，选两天比较有代表性的来看，2015年8月24日，市场大多30天期的期权B-S隐含波动率在60%-70%之间，平价期权B-S隐含波动率为68.77%，虽然说B-S公式不是非常准，但也不会离真实值偏离太远。而上交所前版的iVIX为35.61%，这显然差太远，低估了市场的波动率水平。同样2015年6月26日也发现了类似情况。所以现实生活中在极端情况下，原来的指数偏离真实值比较远，理论和现实都推动我们去做这个研究。
还有一点要我们去改进的就是，中国的期权市场有一些特殊的特征，一个是现货市场卖空限制是全世界最严格的，在股灾期间更是。第二个就是交易费用，因为中国市场投机性非常强，所以在设计的时候上交所的指导思想就是让大家不要投机，交易费用定得很高。另外行权价间隔也很大，而且行权价数量很少。而在国外就很多。在计算隐含波动率的时候，要用到积分，把所有行权价都用上。积分是连续的概念，那我们现实生活中一定要离散，而太散的话跟连续的误差就非常大。刚才还说过中国有一个红利保护机制。所以在这样的市场背景下，原来的CBOE的VIX计算方法是否仍然适合于新兴期权市场？这是我们要思考的，事实上差距也蛮大的。
这是一个简单介绍，那我们怎么做呢？就从最基础的，从标的资产服从的随机过程开始建模，建模并不是去找期权定价公式，因为我们都是用无模型方法，但是标的资产遵循的过程必须规定。为了使模型具有一般性，因为用的假定越少，模型越符合现实，所以我们用了相对最一般化的模型——It半鞅过程。它的特征是：波动率是随机的，而且允许波动率带有限变差的跳跃，所以波动率本身也带跳；标的资产本身也带有限变差的跳跃；利率也是随机的。这种设定可以适应现实生活中各种情况。唯一的假设是无套利假设，是符合人性的条件。我们这个模型是最一般化的，如果做一些其它的假定，之前的模型就是我们模型的特例。如果假定利率非随机，我们模型的设定就和Carr 和 Wu的研究一样；如果利率非随机加上有限多次跳跃，就和Jiang和Tian的研究一样；如果利率为零或常数加上无跳跃，就和再前面几个人的研究一样，也和CBOE的VIX和上交所之前沿用的iVIX一样。
下面给大家介绍一些小的发现，我们发现所谓无模型隐含方差应当是在T-远期测度下，市场对未来二次变差的期望值，而不是方差。研究过程中应采用远期价格进行分析，在T-远期测度下，远期价格是一个鞅过程，只有后面的随机项，所以在求平方的过程中它的计算最为简便，这是一个技术问题。最终得到现货价格的无模型隐含二次变差。